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Section: New Results
Applications
Introduction
Nous présentons maintenant plusieurs travaux de nature appliquée, touchant à des domaines variés, dans lesquels nous exploitons certaines des techniques mathématiques présentées précédemment, et particulièrement celles qui relèvent de la théorie de Perron-Frobenius non-linéaire et de la convexité tropicale. Ces applications utilisent aussi des techniques d'algèbre linéaire ou d'optimisation convexe.
English version
In this section, we describe several applied works in which we use some of the theoretical tools developed by the team, including non-linear Perron-Frobenius theory and tropical convexity. Some of these applications also make an intensive use of linear algebraic and convex programming methods.
Preuve formelle d'inégalités non-linéaires/Formal proofs of non-linear inequalities
Participants : Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert, Victor Magron, Benjamin Werner [LIX] .
La thèse de Victor Magron [140] , dirigée par Benjamin Werner, codirigée par Stéphane Gaubert et Xavier Allamigeon, a porté sur la certification de bornes inférieures de fonctions multivariées à valeurs réelles, définies par des expressions semi-algébriques ou transcendantes, et sur la preuve de validité de celles-ci au moyen de certificats dans l'assistant de preuves .
L'un des développements de ce travail est paru dans [18] ,
English version
The PhD work of Victor Magron [140] , supervised by Benjamin Werner, and cosupervised by Stéphane Gaubert and Xavier Allamigeon, dealt with the certification of lower bounds for multivariate functions, defined by semi-algebraic or transcendental expressions, and their correctness proof through certificates checked in the proof assistant. A development of this work appeared in [18]
Géométrie de l'ordre de Loewner et application au calcul d'invariants quadratiques en analyse statique de programme/Geometry of the Loewner order and application to the synthesis of quadratic invariants in static analysis of program
Participants : Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert, Éric Goubault [LIX] , Sylvie Putot [LIX] , Nikolas Stott.
Nous introduisons un nouveau domaine abstrait numérique reposant sur les ellipsoïdes pour la vérification formelle de systèmes linéaires switchés. La nouveauté de ce domain ne réside pas dans l'utilisation des ellipsoïdes en tant qu'abstraction, mais dans le fait que nous dépassons deux difficultés clés qui ont jusqu'à maintenant limiter l'utilisation des ellipsoïdes en interprétation abstraite. La première difficulté est que l'ensemble des ellipsoïdes ne constitue par un treillis. Par conséquent, il n'y a pas a priori de choix canonique pour l'abstraction de l'union de deux ensembles, ce qui rend l'analyse moins prévisible (elle dépend du choix de “bonnes” bornes supérieures). La seconde difficulté est que les travaux récents utilisant les ellipsoïdes reposent sur des méthodes à base d'inégalités linéaires matricielles (LMI). Ces dernières sont efficaces sur des exemples de taille modérée, mais elles sont limités par la complexité des algorithmes de points intérieurs. Ceux-ci ne passent pas aussi bien à l'échelle dans le cas des LMI que dans le cas de la programmation linéaire ou du second-ordre.
Plus précisément, nous réduisons la question de l'abstraction de l'union de deux ensembles par une ellipsoïde à la selection d'une borne inférieure de deux matrices positives pour l'ordre de Löwner. Nous montrons qu'il existe une unique procédure de sélection ayant la propriété d'être invariante par transformation linéaire des variables de programmes. Nous montrons que la borne inférieure ainsi sélectionnée peut être calculée en opérations arithmétiques. Nous établissons aussi que cette borne inférieur coïncide avec l'ellipsoïde de volume minimal, si bien que, de façon surprenante, deux approches distinctes et naturelles mènent à la même sélection. Par ailleurs, nous montrons qu'un invariant ellipsoïdal peut être calculé de manière efficace. Notre algorithme est fondé sur une généralisation non-linéaire de l'algorithme power, utilisé habituellement pour calculer la plus grande valeur propre d'une matrice. Nous illustrons notre approche en l'appliquant à des exemples de systèmes linéaires switchés. Nous montrons que l'algorithme power conduit à des gains en temps de calcul très importants par rapport aux méthodes de type LMI, au pr!x d'une perte de précision limitée.
Ce travail est décrit dans l'article [29] , qui a reçu le prix du meilleur article à la conférence EMSOFT 2015.
English version
We introduce a new numerical abstract domain based on ellipsoids designed for the formal verification of switched linear systems. The novelty of this domain does not consist in the use of ellipsoids as abstractions, but rather in the fact that we overcome two key difficulties which so far have limited the use of ellipsoids in abstract interpretation. The first issue is that the ordered set of ellipsoids does not constitute a lattice. This implies that there is a priori no canonical choice of the abstraction of the union of two sets, making the analysis less predictable as it relies on the selection of good upper bounds. The second issue is that most recent works using on ellipsoids rely on LMI methods. The latter are efficient on moderate size examples but they are inherently limited by the complexity of interior point algorithms, which, in the case of matrix inequality problems, do not scale as well as for linear programming or second order cone programming problems.
In more details, we reduce the question of abstracting by an ellipsoid the union of two sets to the selection of a minimal upper bound of two positive semidefinite matrices with respect to the Löwner order. We show that there is a unique selection procedure which has the property of being invariant with respect to linear transformations of the program variables. We show that the minimal upper bound can be computed with the same cost as performing a Cholesky decomposition, i.e., in arithmetic operations. We also establish that it coincides with the minimal volume ellipsoid, so that, surprisingly, two distinct natural approaches lead to the same choice of selection. Moreover, we show that an an invariant ellipsoid can be computed by a scalable algorithm. This is based on a non-linear generalization of the power algorithm which is classically used to compute the dominant eigenvalue of a matrix. We illustrate our approach by applying it to examples of switched linear systems. We show that the power iteration leads to important speedups by comparison with LMI based methods, at the price of a limited loss of precision.
This work is described in the article [29] , and won the best paper award at the conference EMSOFT 2015.
Optimisation de l'affectation temps réel des moyens de secours des pompiers/Optimization of the real time assignment of firemen vehicles
Participants : Marianne Akian, Xavier Allamigeon, Vianney Boeuf, Stéphane Gaubert, Stéphane Raclot [BSPP] .
La thèse de Vianney Boeuf est effectuée en partenariat avec la Brigade de sapeurs pompiers de Paris (BSPP). Elle est motivée par l'optimisation des moyens de secours, en incluant les questions de dimensionnement et d'affectation temps réel des moyens. On s'intéresse en particulier à l'affectation des engins et véhicules de secours, éventuellement empruntés à différentes casernes. Ce travail intervient en complément du travail de l'équipe au sein du projet ANR Democrite, qui porte sur l'évaluation du risque en milieu urbain.
English version
The PhD work of Vianney is carried out with the Brigade of Paris Firemen (BSPP). It is motivated by the issue of optimization of emergency resources, including the real time dynamic assignment of engines or emergency vehicles. This work is carried out in complement to the ANR project Democrite, dealing with risk evaluation in urban environment.
Analyse de performance d'un centre de reception des appels d'urgence fondée sur les systèmes polynomiaux tropicaux/Performance evaluation of an emergency call center based on tropical polynomial systems
Participants : Xavier Allamigeon, Vianney Boeuf, Stéphane Gaubert, Stéphane Raclot [BSPP] , Régis Reboul [PP] .
Ce travail a pris sa source dans un problème d'évaluation de performance et de dimensionnement, posé par Régis Reboul (Préfecture de Police), portant sur l'analyse de l'évolution projetée de la procédure de traitement des appels d'urgence (17-18-112). Ce travail a aussi bénéficié de l'appui du LtL Stéphane Raclot (BSPP).
Il a amené à la contribution suivante. Nous introduisons une méthode algébrique qui permet d'analyser les performances de systèmes mettant en jeu des priorité et modélisés par des réseaux de Petri. Cette méthode s'applique à la classe de réseaux de Petri dans lesquels les places peuvent être partitionnées en deux catégories : le routage dans certaines places est sujet à des règles de priorité, tandis que le routage dans les autres places est à choix libre.
Nous montrons que les variables compteurs, qui déterminent le nombre de tirage des transitions comme une fonction du temps, sont les solutions d'un système dynamique linéaire par morceaux. Par ailleurs, nous établissons que dans le modèle fluide, les régimes stationnaires sont précisément les solutions d'un ensemble d'équations linéaires par morceaux et lexicographiques, qui constituent un système polynomial sur un semi-corps tropical (min-plus) de germes.
En substance, ce résultat montre que calculer les régimes stationnaires se réduit à la résolution d'un système polynomial tropical. Ceci est l'un des problèmes de base en géométrie tropicale. Cette interprétation fournit des informations sur la nature des solutions ainsi que des algorithmes. En particulier, l'approche tropicale permet de déterminer les différentes phases de congestion du système.
Nous appliquons ensuite cette approche à un cas d'étude relié au projet actuel de la Préfecture de Police de Paris et la Brigade de sapeurs-pompiers de Paris sur la mise en place d'une nouvelle organisation de réception des appels 17/18/112 sur Paris et sa petite couronne. Nous introduisons pour cela un modèle simplifié d'organisation de réception des appels, et nous nous concentrons sur l'analyse d'une fonctionnalité clé de cette organisation : la procédure de réception des appels à deux niveaux. Les opérateurs de niveau 1 reçoivent les appels, les qualifient en fonction de leur urgence, gèrent les appels non-urgents, et transfèrent les appels urgents à des opérateurs de niveau 2 spécialisés et qui complètent l'instruction. Nous résolvons le système d'équations polynomiales tropicales correspondant, et obtenons un calcul explicite des différents phases de congestion en fonction du rapport entre les nombres d'opérateurs de niveau 2 et 1. Nos résultats analytiques sont obtenus pour le modèle fluide. Cependant, ils sont confirmés par des simulations dans lesquelles la sémantique initiale du réseau de Petri est utilisée.
Ce travail a fait l'objet de la publication [28] à la conférence FORMATS 2015.
English version
This work arose from a question raised by Régis Reboul (Préfecture de Police), regarding the analysis of the projected evolution of the treatment of emergency calls (17-18-112). This work also benefited from the help of LtL Stéphane Raclot (BSPP).
It led to the following contribution. We introduce an algebraic approach which allows to analyze the performance of systems involving priorities and modeled by timed Petri nets. Our results apply to the class of Petri nets in which the places can be partitioned in two categories: the routing in certain places is subject to priority rules, whereas the routing at the other places is free choice.
We show that the counter variables, which determine the number of firings of the different transitions as a function of time, are the solutions of a piecewise linear dynamical system. Moreover, we establish that in the fluid model, the stationary regimes are precisely the solutions of a set of lexicographic piecewise linear equations, which constitutes a polynomial system over a tropical (min-plus) semifield of germs.
In essence, this result shows that computing stationary regimes reduces to solving tropical polynomial systems. Solving tropical polynomial systems is one of the most basic problems of tropical geometry. The latter provides insights on the nature of solutions, as well as algorithmic tools. In particular, the tropical approach allows one to determine the different congestion phases of the system.
We apply this approach to a case study relative to the current project led by Préfecture de Police de Paris (PP), involving the Brigade de sapeurs-pompiers de Paris (BSPP), of a new organization to handle emergency calls to Police (number 17), Firemen (number 18), and untyped emergency calls (number 112), in the Paris area. To this purpose, we introduce a simplified model of emergency call center, and we concentrate on the analysis of an essential feature of the organization: the two level emergency procedure. Operators at level 1 initially receive the calls, qualify their urgency, handle the non urgent ones, and transfer the urgent cases to specialized level 2 operators who complete the instruction. We solve the associated system of tropical polynomial equations and arrive at an explicit computation of the different congestion phases, depending on the ratio of the numbers of operators of level 2 and 1. Our analytical results are obtained only for the approximate fluid model. However, they are confirmed by simulations in which the original semantics of the Petri nets (with integer firings) is respected.
This work has been published in the proceedings of the conference FORMATS 2015 [28] .
Tarification du tarif des données dans les réseaux mobiles/Smart Data Pricing
Participants : Marianne Akian, Mustapha Bouhtou [Orange Labs] , Jean-Bernard Eytard.
Le travail de PhD de Jean-Bernard Eytard, qui a démarré en Octobre, concerne l'optimisation de la tarification des données dans les réseaux mobiles.
English version
The PhD work of Jean-Bernard Eytard, which started in October, concerns the optimal pricing of data trafic in mobile networks.